Question

（2009•淄博一模）已知函数f（x）=lnx-

a

x

（a∈R）
（1）讨论f（x）在[1，e]上的单调性；
（2）若f（x）＜x在[1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导，然后解导数不等式，利用导数符号和单调性的关系进行判断．
（2）把不等式恒成立问题转化为函数最值恒成立去解决．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

a+x

x2

．
①当a≥-1，因为1≤x≤e，所以x+a≥0，此时f'（x）≥0，所以f（x）在[1，e]上为增函数．
②当a≤-e时，因为1≤x≤e，所以x+a≥0，此时f'（x）≤0，此时f（x）在[1，e]上为减函数．
③当-e＜a＜-1时，令f'（x）=0得x=-a．于是当1≤x≤-a时，f'（x）≤0，所以函数f（x）在[1，-a]上为减函数．
当-a≤x≤e时，f'（x）≥0，所以函数f（x）在[-a，e]上为增函数．
综上可知，当a≥-1时，f（x）在[1，e]上为增函数．当a≤-e时，f（x）在[1，e]上为减函数．
当-e＜a＜-1时，f（x）在[1，-a]上为减函数，在[-a，e]上为增函数．
（Ⅱ）由f（x）＜x，得lnx-

a

x

＜x，因为x≥1，所以a＞xln?x-x²
令g（x）=xln?x-x²，要使a＞xln?x-x² 在[1，+∞）上恒成立，只需a＞g_max?（x）即可．
g'（x）=lnx-2x+1=lnx-（2x-1），分别作出函数y=lnx和y=2x-1的图象如图．由图象可知当x≥1时，lnx＜2x-1．
此时g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，所以g（x）的最大值为g（1）=-1，所以a＞-1，即a的取值范围是（-1，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立．