Question

【题目】在矩形中，，，、、、分别为矩形四条边的中点，以，所在直线分别为，轴建立直角坐标系（如图所示）.若、分别在线段、上.且.

（Ⅰ）求证：直线与的交点总在椭圆：上；

（Ⅱ）若、为曲线上两点，且直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；

【解析】

（Ⅰ）根据比值关系写出、，再联合、写出直线、，再求出交点坐标，即可得证。

（Ⅱ）设出直线，联立方程，再利用斜率之积为，求出，即可得出定点.

解（Ⅰ）∵，∴，

又则直线的方程为 ①

又则直线的方程为 ②

联立①②: 解得，

，∴直线与的交点在椭圆：上；

（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，设：

则，∴，不合题意，

②当直线的斜率存在时，设：，，.

联立方程得

则，，，

又

即，

将，代入上式得，

∴直线过定点.