Question

【题目】已知，，若点A为函数上的任意一点，点B为函数上的任意一点.

(1)求A，B两点之间距离的最小值；

(2)若A，B为函数与函数公切线的两个切点，求证:这样的点B有且仅有两个，且满足条件的两个点B的横坐标互为倒数.

Answer 1

【答案】（1）.（2）证明见解析

【解析】

（1）由于与互为反函数，即函数图象关于y=x对称，且在点(0，1)处的切线为y=x+1和在点(1，0)的切线为y=x-1，所以A，B两点之间的距离的最小值即为(0，1)与(1，0)之间的距离；

（2）在A处的切线为，在B 处的切线为，由于它们是，公切线 ，所以，联立消得，，最后令，证，有且仅有两个解，且两个解互为倒数即可.

(1)解:由，则在点(0，1)处的切线为y=x+1，

又，则在点(1，0)的切线为y=x-1，

由于与互为反函数，即函数图象关于y=x对称如图，

故而A，B两点之间的距离的最小值即为(0，1)与(1，0)之间的距离，

所以A，B两点之间的距离的最小值为.

(2)设A ，B

则在A处的切线为，即

在B 处的切线为，即，

所以，则，

要证这样的点B有且仅有两个，需证上式有且有两个解，

令，下证有且仅有两个解，

由，因为单调递增，单调递减，所以单调递增，

又，，故存在唯一的，使得，

故而，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

又，，

所以在上有唯一的根；

记，由，则，

又，

故是在上有唯一的根，

所以有且仅有两个解，

综上所述，这样的点B有且仅有两个，且满足条件的两个点B的横坐标互为倒数.