Question

3．已知锐角θ满足sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，则cos（θ+$\frac{5π}{6}$）的值为（　　）

• A． -$\frac{1}{9}$
• B． $\frac{4\sqrt{5}}{9}$
• C． -$\frac{4\sqrt{5}}{9}$
• D． $\frac{1}{9}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数关系和诱导公式进行化简求值．

解答 解：∵sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{2}{3}$，
∴sin（$\frac{θ}{2}$+$\frac{π}{6}$）²=$\frac{1}{2}$[1-cos（θ+$\frac{π}{3}$）]=$\frac{4}{9}$，则cos（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{9}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜θ+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）＞0，
∴sin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-\frac{1}{81}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$
∴cos（θ+$\frac{5π}{6}$）=cos（$\frac{π}{2}$+θ+$\frac{π}{3}$）=-sin（θ+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，
故选：C．

点评 本题考查了三角函数的化简求值，熟记公式即可解答，属于基础题，考查学生的计算能力．