Question

13．在等比数列{a_n}中，公比q≠1，等差数列{b_n}满足a₁=b₁=3，a₂=b₄，a₃=b₁₃．
（1）求数列{a_n}的{b_n}通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）c_n=（2n+1）•3ⁿ，利用“错位相减法”与等比数列求和公式即可得出．

解答 解：（1）由已知得：${a_2}=3q，{a_3}=3{q^2}，{b_4}=3+3d，{b_{13}}=3+12d$，即$\left\{\begin{array}{l}3q=3+3d\\ 3{q^2}=3+12d\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}d=2\\ q=3\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}d=0\\ q=1\end{array}\right.$（ 舍），∴d=2，${a_n}={3^n}，{b_n}=2n+1$．
（2）c_n=（2n+1）•3ⁿ，
S_n=3×3+5×3²+…+（2n+1）•3ⁿ，
3S_n=3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ+（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2S_n=3×3+2×（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n+1）•3ⁿ⁺¹=2×$\frac{3×（{3}^{n}-1）}{3-1}$+3-（2n+1）•3ⁿ⁺¹，
化为：S_n=n•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．