Question

18．两个单位向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为60°，点C在以O圆心的圆弧AB上移动，$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，则x+y的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 本题是向量的坐标表示的应用，结合图形，利用三角函数的性质，即可求出结果．

解答 解：∵两个单位向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$的夹角为60°，点C在以O圆心的
圆弧AB上移动，$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
建立如图所示的坐标系，则B（1，0），A（cos60°，sin60°），
即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
设∠BOC=α，则$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$=（cosα，sinα）=（$\frac{1}{2}$x+y，$\frac{\sqrt{3}}{2}$x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{x}{2}+y}\\{sinα=\frac{\sqrt{3}}{2}x}\end{array}\right.$∴x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$sinα，y=cosα-$\frac{1}{\sqrt{3}}$sinα，
∴x+y=cosα+$\frac{1}{\sqrt{3}}$sinα=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（α+60°）．
∵0°≤α≤60°，∴60°≤α+60°≤120°，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（α+60°）≤1，
故当α+60°=90°时，x+y取得最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查向量知识的运用，考查三角函数的性质，确定x，y的关系式是关键，属于中档题．