Question

7．已知函数f（x）=x²-2x-8，g（x）=2x²-4x-16，
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若对一切x＞5，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接因式分解后求解不等式的解集；
（2）把函数f（x）的解析式代入f（x）≥（m+2）x-m-15，分离变量m后利用基本不等式求解m的取值范围．

解答 解：（1）由g（x）=2x²-4x-16＜0，得x²-2x-8＜0，
即（x+2）（x-4）＜0，解得-2＜x＜4．
所以不等式g（x）＜0的解集为{x|-2＜x＜4}；
（2）因为f（x）=x²-2x-8，
当x＞5时，f（x）≥（m+2）x-m-15成立，
则x²-2x-8≥（m+2）x-m-15成立，
即x²-4x+7≥m（x-1）．
所以对一切x＞5，均有不等式$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$≥m成立．
而$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$-2≥2$\sqrt{（x-1）×\frac{4}{x-1}}$-2=2（当x=3时等号成立）．
因为x=5，所以，$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$=3．
实数m的取值范围是（-∞，3]．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求函数的最值，是基础题．