【题目】已知直线过椭圆
的右焦点
,抛物线
的焦点为椭圆
的上顶点,且
交椭圆
于
两点,点
在直线
上的射影依次为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线交
轴于点
,且
,当
变化时,证明:
为定值;
(3)当变化时,直线
与
是否相交于定点?若是,请求出定点的坐标,并给予证明;否则,说明理由.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
.
【解析】试题分析:(1)由题设条件求出椭圆的右焦点与上顶点坐标,即可得出
、
的值,再求出
的值即可求得椭圆
的方程;(2)设
,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理得出
与
,再根据
及
,从而可表示出
,化简即可得证;(3))当
时,易得
与
相交于点
,可猜想:
变化时,
与
相交于点
,再证明猜想成立即可.
试题解析:(1)∵过椭圆
的右焦点
,
∴右焦点,即
,
又∵的焦点
为椭圆
的上顶点,
∴,即
,
∴椭圆的方程
;
(2)由得,
,
设,则
,
∵,
∴,
∴,
∴,
综上所述,当变化时,
的值为定值
;
(3)当时,直线
轴,则
为矩形,易知
与
是相交于点
,猜想
与
相交于点
,证明如下:
∵,
∵,
∴,即
三点共线.
同理可得三点共线,
则猜想成立,即当变化时,
与
相交于定点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设某地区乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
时间代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
储蓄存款 | 3.5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9.5 |
(1)求关于的回归方程
,并预测该地区2019年的人民币储蓄存款(用最简分数作答).
(2)在含有一个解释变量的线性模型中,恰好等于相关系数
的平方,当
时,认为线性回归模型是有效的,请计算
并且评价模型的拟合效果(计算结果精确到
).
附:
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某生产厂家生产一种产品的固定成本为4万元,并且每生产1百台产品需增加投入0.8万元.已知销售收入(万元)满足
(其中
是该产品的月产量,单位:百台),假定生产的产品都能卖掉,请完成下列问题:
(1)将利润表示为月产量的函数
;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少万元?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设点为椭圆
的左焦点,直线
被椭圆
截得弦长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)圆与椭圆
交于
两点,
为线段
上任意一点,直线
交椭圆
于
两点
为圆
的直径,且直线
的斜率大于
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知定点,定直线
,动点
到点
的距离比点
到
的距离小1.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点的直线
与(1)中轨迹C相交于两个不同的点M、N,若
,求直线
的斜率的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个.命中个数的茎叶图如图,则下面结论中错误的一个是( )
A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24
C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21
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【题目】已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序,第一道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为,
,
,每道程序是相互独立的,且一旦审核不通过就停止审核,每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售.
(1)求审核过程中只通过两道程序的概率;
(2)现有3部该智能手机进入审核,记这3部手机可以出厂销售的部数为,求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数程为
(
为参数),设直线
与
的交点为
,当
变化时点
的轨迹为曲线
.
(1)求出曲线的普通方程;
(2)以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,点
为曲线
的动点,求点
到直线
的距离的最小值.
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