Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，焦距为，抛物线： 的焦点是椭圆的顶点.

（1）求与的标准方程；

（2）上不同于的两点， 满足，且直线与相切，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）..（2）.

【解析】试题分析：⑴设椭圆的焦距为，依题意求出， ，由此求出椭圆的标准方程；又抛物线： 开口向上，故是椭圆的上顶点，由此能求出抛物线的标准方程；

⑵设直线的方程为，设， ，则能得到， ，联立

，得 ，；由此利用根的判别式，韦达定理，弦长公式，结合已知条件能求出的面积

解析：（1）设椭圆的焦距为，依题意有，

解得， ，故椭圆的标准方程为.

又抛物线： 开口向上，故是椭圆的上顶点，

，，故抛物线的标准方程为.

（2）显然，直线的斜率存在.设直线的方程为，设， ，则， ，

，

即

联立，消去整理得， .

依题意， ，是方程的两根， ，

， ，

将和代入得，

解得，（ 不合题意，应舍去）

联立，消去整理得， ，

令，解得.

经检验， ， 符合要求.

此时， ，

.