【题目】已知圆,圆
内一定点
,动圆
过点
且与圆
内切.记动圆圆心
的轨迹为
.
(Ⅰ)求轨迹方程;
(II)过点的动直线l交轨迹
于M,N两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点Q,使得以线段MN为直径的圆恒过点Q?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(I) ;(II)存在,恒过点Q(0,1).
【解析】
(Ⅰ)由题意可知:,P点轨迹是以A、B为焦点的椭圆,即可求得椭圆的标准方程;
(Ⅱ)利用特例先确定定点Q,再推广到一般情况即可.
解:(Ⅰ)解:设动圆圆心,半径为
.
,
故点的轨迹为椭圆,
,
,
故圆心的轨迹方程为
(II)当l与x轴平行时,以线段MN为直径的圆的方程为x2+=
;
当l与y轴平行时,以线段MN为直径的圆的方程为x2+y2=1.
由得
故若存在定点Q,则Q的坐标只可能为Q(0,1).
下面证明Q(0,1)为所求:
若直线l的斜率不存在,上述已经证明.
若直线l的斜率存在,设直线l:y=kx-,
M(x1,y1),N(x2,y2),
由得(9+18k2)x2-12kx-16=0,
Δ=144k2+64(9+18k2)>0,
x1+x2=,x1x2=
,
=(x1,y1-1),
=(x2,y2-1),
=x1x2+(y1-1)(y2-1)
=(1+k2)x1x2-(x1+x2)+
=(1+k2)·-
·
+
=0,
∴⊥
,即以线段MN为直径的圆恒过点Q(0,1).
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【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数程为
(
为参数),设直线
与
的交点为
,当
变化时点
的轨迹为曲线
.
(1)求出曲线的普通方程;
(2)以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,点
为曲线
的动点,求点
到直线
的距离的最小值.
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【题目】2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1000人的得分数据,其频率分布直方图如图所示:
(Ⅰ)估计该组数据的中位数、众数;
(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布,求P(50.5<Z<94);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,有关部门为此次参加问卷调査的市民制定如下奖励方案:
(i)得分不低于μ可获赠2次随机话费,得分低于μ则只有1次;
(ii)每次赠送的随机话费和对应概率如下:
赠送话费(单元:元) | 10 | 20 |
概率 |
现有一位市民要参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加.问卷调查获赠的话费,求X的分布列和数学期望.
附: ,
若ZN(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)= 0.6826,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.
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【题目】两人约定在20∶00到21∶00之间相见,并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去,如果两人出发是各自独立的,在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的,则他们两人在约定时间内相见的概率为( ).
A. B.
C.
D.
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【题目】已知抛物线C:,点
在x轴的正半轴上,过点M的直线l与抛线C相交于A、B两点,O为坐标原点.
若
,且直线l的斜率为1,求证:以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切;
是否存在定点M,使得不论直线l绕点M如何转动,
恒为定值?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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