Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2

5

，PD=4

2

，E是PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）若F是线段BC的中点，求三棱锥F-ACE的体积．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理的逆定理，可得PA⊥AD且PA⊥AB，得PA⊥平面ABCD，从而平面PAD⊥平面ABCD．结合面面垂直的性质，得CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE．最后结合等腰直角△PAD的中线AE⊥PD，得AE⊥平面PCD；
（2）连接FA、FE，取AD的中点K，连接EK．根据三角形中位线定理，得到EK∥PA且EK=

1

2

PA=2，得EK⊥平面ABCD，即EK是三棱锥E-AFC的高线．由此结合题中数据，算出三棱锥E-AFC的体积，即得三棱锥F-ACE的体积．

解答：解：（1）∵PA²+AD²=32=PD²，
∴∠PAD=90°，结合PA=AD得△PAD是等腰Rt△
又∵PA²+AB²=20=PB²，∴PA⊥AB
∵PA⊥AD且AB、AD是平面ABCD内的相交直线
∴PA⊥平面ABCD
∵PA⊆平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD
∵平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∵AE⊆平面PAD，∴CD⊥AE
∵等腰Rt△PAD中，E是斜边AD上的中线，∴AE⊥PD
∵PD、CD是平面PCD内的相交直线，
∴AE⊥平面PCD；
（2）连接FA、FE，取AD的中点K，连接EK
∵△PAD中，EK是中位线，∴EK∥PA且EK=

1

2

PA=2
∵PA⊥平面ABCD，
∴EK⊥平面ABCD，得EK是三棱锥E-AFC的高线
∴V_{三棱锥E-AFC}=

1

3

×S_△AFC×EK=

1

3

×

1

2

×

1

2

×4×2×2=

4

3

∵V_{三棱锥E-AFC}=V_{三棱锥F-ACE}
∴V_{三棱锥F-ACE}=

4

3

，即三棱锥F-ACE的体积是

4

3

．

点评：本题在特殊四棱锥中，证明线面垂直并且求锥体体积，着重考查了空间垂直位置关系的证明和等体积转换求三棱锥体积等知识，属于中档题．