Question

1．已知平面区域$\left\{\begin{array}{l}x≥0\\ y≥0\\ x+2y-4≤0\end{array}\right.$恰好被面积最小的圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其内部所覆盖．
（1）作出该不等式组所确定的平面区域试，并求圆C的方程．
（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，满足CA⊥CB，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）作平面区域，从而可得C（2，1），r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，从而解得；
（2）由题意作图，从而可得CB∥x轴，从而解得B（2+$\sqrt{5}$，1）或B（2-$\sqrt{5}$，1）；从而解得．

解答 解：（1）、作平面区域如下，
，
结合图象可知，
点C（2，1），r=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5；
（2）由题意作图如右图，
结合图象可知，CB∥x轴，
故由（x-2）²+（1-1）²=5解得，
x=2+$\sqrt{5}$或x=2-$\sqrt{5}$；
故B（2+$\sqrt{5}$，1）或B（2-$\sqrt{5}$，1）；
故l的方程为y-1=x-2-$\sqrt{5}$或y-1=x-2+$\sqrt{5}$；
即x-y-1-$\sqrt{5}$=0或x-y-1+$\sqrt{5}$=0．

点评 本题考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．