Question

6．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{6}$+$\frac{y^2}{3}$=1的焦点与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点之间的距离为2．
（1）求抛物线C₂的方程；
（2）设C₁与C₂在第一象限的交点为A，过点A斜率为k（k＞0）的直线l₁与C₁的另一个交点为B，过点A与l₁垂直的直线l₂与C₂的另一个交点为C．设m=$\frac{{|{\overrightarrow{AB}}|}}{{\overrightarrow{|{AC}|}}}$，试求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆方程求出椭圆的焦点坐标，由两点间的距离公式列式求得p，进而得到抛物线方程；
（2）设出直线AB的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得|AB|，再设直线AC的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AC|，再求m的范围．

解答 解：（1）由椭圆C₁：$\frac{x^2}{6}$+$\frac{y^2}{3}$=1，得a²=6，b²=3，∴c=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C₁的一个焦点坐标F（$\sqrt{3}，0$），
抛物线C₂：x²=2py（p＞0）的焦点F′（0，$\frac{p}{2}$），
由题意可得|FF′|=$\sqrt{（\sqrt{3}-0）^{2}+（0-\frac{p}{2}）^{2}}=2$，得p²=4，∴p=2．
则抛物线C₂的方程为：x²=4y；
（2）联立椭圆方程和抛物线方程，解得A（2，1），
由题意得直线AB的方程为y-1=k（x-2），联立椭圆方程消去y，
得（2k²+1）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-6=0，
则x_Ax_B=$\frac{2（1-2k）^{2}-6}{1+2{k}^{2}}$，x_A+x_B=-$\frac{4k（1-2k）}{1+2{k}^{2}}$，
∵x_A=2，∴x_B=$\frac{2（2{k}^{2}-2k-1）}{1+2{k}^{2}}$，
即有|AB|²=（1+k²）|x_A-x_B|=（1+k²）•$\frac{4k+4}{1+2{k}^{2}}$，
直线AC的方程为y-1=-$\frac{1}{k}$（x-2），联立抛物线方程，消去y，得x²+$\frac{4}{k}$x-4-$\frac{8}{k}$=0，
∴x_Ax_C=-4-$\frac{8}{k}$，x_A+x_C=-$\frac{4}{k}$，
∵x_A=2，∴x_C=-$\frac{2（k+2）}{k}$，
即有|AC|²=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）|x_A-x_C|=（1+$\frac{1}{{k}^{2}}$）•$\frac{4k+4}{k}$，
则有m²=$\frac{|AB{|}^{2}}{|AC{|}^{2}}$=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{4}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}$＜2，
即有0＜m＜$\sqrt{2}$．
则m的取值范围是（0，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和焦点坐标，同时考查直线方程和椭圆方程，抛物线方程联立，运用韦达定理，以及弦长公式，注意化简整理，属于中档题．