Question

10．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=$\frac{{2{π}}}{3}$．管理部门欲在该地从M到D修建一条小路：在弧$\widehat{MN}$上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路$\widehat{MP}$与PQ及QD的总长最小？并说明理由．

Answer 1

分析 连接BP，过P作PP₁⊥BC垂足为P₁，过Q作QQ₁⊥BC垂足为Q₁，设∠PBP₁=θ$（{0＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}}）$，∠MBP=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ，则总路径长f（θ）=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ+4-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，（0＜θ＜$\frac{2π}{3}$），求导，可得函数的最小值点．

解答 解：连接BP，过P作PP₁⊥BC垂足为P₁，
过Q作QQ₁⊥BC垂足为Q₁，
设∠PBP₁=θ$（{0＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}}）$，∠MBP=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ        …（2分）
若$0＜θ＜\frac{π}{2}$，在Rt△PBP₁中，PP₁=sinθ，BP₁=cosθ，
若$θ=\frac{π}{2}$，则PP₁=sinθ，BP₁=cosθ，
若$\frac{π}{2}$＜θ＜$\frac{2π}{3}$，则PP₁=sinθ，BP₁=cos（π-θ）=-cosθ，
∴$PQ=2-cosθ-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinθ$        …（4分）
在Rt△QBQ₁中，QQ₁=PP₁=sinθ，CQ₁=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinθ，CQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinθ，$DQ=2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}sinθ$            …（6分）
所以总路径长f（θ）=$\frac{{2{π}}}{3}$-θ+4-cosθ-$\sqrt{3}$sinθ，（0＜θ＜$\frac{2π}{3}$），…（10分）
${f^'}（θ）=sinθ-\sqrt{3}cosθ-1=2sin（θ-\frac{π}{3}）-1$                …（12分）
令f'（θ）=0，$θ=\frac{π}{2}$当$0＜θ＜\frac{π}{2}$ 时，f'（θ）＜0当$\frac{π}{2}＜θ＜\frac{{2{π}}}{3}$ 时，f'（θ）＞0                 …（14分）
所以当$θ=\frac{π}{2}$时，总路径最短．
答：当BP⊥BC时，总路径最短．…（16分）

点评 本题考查的知识点是利用导数研究函数的最值，三角函数的应用，难度中档．