Question

19．S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1，设b_n=a_n+n，求证：数列{b_n}是等比数列，求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 由S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1知，n=1时可求得a₁；当n≥2时，有a_n-1+S_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1，
两式相减可求得b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1（n≥2），利用等比数列的定义可证数列{b_n}是等比数列；
求得b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法即可求得T_n．

解答 证明：因为S_n+a_n=-$\frac{1}{2}$n²-$\frac{3}{2}$n+1，
所以①当n=1时，2a₁=-1，则a₁=-$\frac{1}{2}$，
②当n≥2时，a_n-1+S_n-1=-$\frac{1}{2}$（n-1）²-$\frac{3}{2}$（n-1）+1，
所以①-②可得2a_n-a_n-1=-n-1，
即2（a_n+n）=a_n-1+n-1，
所以b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1（n≥2），
而b₁=a₁+1=$\frac{1}{2}$，
所以数列{b_n}是首项为$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
所以b_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ；
解：nb_n=$\frac{n}{{2}^{n}}$．
所以T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{4}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{n}{{2}^{n}}$①，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+$\frac{4}{{2}^{5}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$②，
①-②得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
则T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的求和，考查等比关系的确定，突出考查错位相减法求和的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．