【题目】已知椭圆:
,过原点
作射线
交椭圆于
,平行四边形
的顶点
,
在椭圆上.
(1)若射线的斜率为
,求直线
的斜率;
(2)求证:四边形的面积为定值.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)将射线方程与椭圆方程联立可求得
点坐标,由此得到
中点坐标,利用点差法可求得直线
斜率;
(2)①当直线斜率不存在时,由对称性可知四边形
为菱形,可求得其面积为
;②当直线
斜率存在时,设
方程为
,与椭圆方程联立得到韦达定理的形式,结合平面向量线性运算可求得
点坐标,代入椭圆方程得到
的关系;利用弦长公式和点到直线距离公式表示出
和原点到直线
距离
,由
化简可得面积为
;综合两种情况可得结论.
(1)设射线的方程为
,与椭圆
联立得:
,
当时,
中点
,
四边形
为平行四边形,
为
中点,
设,
,
,两式作差得:
,
;
当时,同理可求得
;
综上所述:直线的斜率为
.
(2)①当直线斜率不存在时,四边形
为菱形,
且
平分
,
方程为
或
,
,
;
②当直线斜率存在时,设
方程为:
,
由得:
,
则,整理得:
,
设,
,则
,
,
,
四边形
为平行四边形,
,
即点坐标为
,即
,
在椭圆上,
,整理得:
,
,
又原点到直线
距离
,
;
综上所述:四边形的面积为定值
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】足球起源于中国东周时期的齐国,当时把足球称为“蹴鞠”.汉代蹴鞠是训练士兵的手段,制定了较为完备的体制.如专门设置了球场,规定为东西方向的长方形,两端各设六个对称的“鞠域”,也称“鞠室”,各由一人把守.比赛分为两队,互有攻守,以踢进对方鞠室的次数决定胜负.1970年以前的世界杯用球多数由举办国自己设计,所以每一次球的外观都不同,拼块的数目如同掷骰子一样没准.自1970年起,世界杯官方用球选择了三十二面体形状的足球,沿用至今.如图Ⅰ,三十二面体足球的面由边长相等的12块正五边形和20块正六边形拼接而成,形成一个近似的球体.现用边长为的上述正五边形和正六边形所围成的三十二面体的外接球作为足球,其大圆圆周展开图可近似看成是由4个正六边形与4个正五边形以及2条正六边形的边所构成的图形的对称轴截图形所得的线段
,如图Ⅱ,则该足球的表面积约为( )
参考数据:,
,
,
A.B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着社会发展对环保的要求,越来越多的燃油汽车被电动汽车取代,为了了解某品牌的电动汽车的节能情况,对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表:
记录时间 | 累计里程 (单位:公里) | 平均耗电量(单位: | 剩余续航里程 (单位:公里) |
2020年1月1日 | 5000 | 0.125 | 380 |
2020年1月2日 | 5100 | 0.126 | 246 |
(注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,)
下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是( )
A.等于B.
到
之间C.等于
D.大于
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标进行检测,一共抽取了
件产品,并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标
有关,具体见下表.
质量指标 | |||
频数 | |||
一年内所需维护次数 |
(1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标的平均值(保留两位小数);
(2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取件产品,再从
件产品中随机抽取
件产品,求这
件产品的指标
都在
内的概率;
(3)已知该厂产品的维护费用为元/次,工厂现推出一项服务:若消费者在购买该厂产品时每件多加
元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这
件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏
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