【题目】已知函数.
(1)若,求的单调区间;
(2)证明:(i);
(ii)对任意,对恒成立.
【答案】(1)的单调递增区间为,,的单调递减区间为. (2)(i)证明见解析(ii)证明见解析
【解析】
(1)将代入函数解析式,并求得导函数,由导函数的符号即可判断的单调区间;
(2)(i)构造函数并求得,利用的单调性求得最大值,即可证明不等式成立.;(ii)由(i)可知将不等式变形可得成立,构造函数,因式分解后解一元二次不等式即可证明对恒成立.
(1)若,(),
令,得或, 则的单调递增区间为,.
令,得,则的单调递减区间为.
(2)证明:(i)设,
则(),
令,得;
令,得.
故,
从而,即.
(ii)函数
由(i)可知
即,所以,当时取等号;
所以当时,则
若,令
则,
当时,.
则当时,,
故对任意,对恒成立.
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【题目】“搜索指数”是网民通过搜索引擎,以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大,表示网民对该关键词的搜索次数越多,对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中,某个关键词的搜索指数变化的走势图.
根据该走势图,下列结论正确的是( )
A. 这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B. 这半年中,网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C. 从网民对该关键词的搜索指数来看,去年10月份的方差小于11月份的方差
D. 从网民对该关键词的搜索指数来看,去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
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【题目】如图,在四棱锥中,底面为正方形,底面,,为线段的中点,为线段上的动点.
(1)求证:平面平面.
(2)试确定点的位置,使平面与平面所成的锐二面角为.
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【题目】皮埃尔·德·费马,法国律师和业余数学家,被誉为“业余数学家之王”,对数学界做出了重大贡献,其中在1636年发现了:若是质数,且互质,那么的次方除以的余数恒等于1,后来人们称该定理为费马小定理.依此定理若在数集中任取两个数,其中一个作为,另一个作为,则所取两个数不符合费马小定理的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】在正四棱锥中,已知异面直线与所成的角为,给出下面三个命题:
:若,则此四棱锥的侧面积为;
:若分别为的中点,则平面;
:若都在球的表面上,则球的表面积是四边形面积的倍.
在下列命题中,为真命题的是( )
A. B. C. D.
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【题目】某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程,现从甲、乙两个班随机抽取了5名学生校本课程的学分,统计如下表.
甲 | 8 | 11 | 14 | 15 | 22 |
乙 | 6 | 7 | 10 | 23 | 24 |
用分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的方差,计算两个班学分的方差.得______,并由此可判断成绩更稳定的班级是______班.
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【题目】在直角坐标系.xOy中,曲线C1的参数方程为( 为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)已知曲线C2的极坐标方程为,点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点,且A,B均异于原点O,且|AB|=4,求α的值.
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