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如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=
π
2
,AB=a,AD=3a,∠ADC=arcsin
5
5
,PA⊥面ABCD,PA=a.求:
(1)二面角P-CD-A的大小(用反三角函数表示);
(2)点A到平面PBC的距离.
分析:(1)作AE⊥直线CD于E连PE.由PA⊥面ABCD,根据三垂线定理知PE⊥CD.可得∠PEA是二面角P-CD-A的平面角.利用已知,分别在Rt△AED和Rt△PAE中求出即可.
(2)作AH⊥PB于H.利用线面垂直的判定与性质定理即可得出AH⊥面PBC,因此AH的长为点A到面PBC的距离.在等腰Rt△PAB中求出即可.
解答:解:(1)作AE⊥直线CD于E连PE.
由PA⊥面ABCD据三垂线定理知PE⊥CD.∴∠PEA是二面角P-CD-A的平面角.
在Rt△AED中,AD=3a,∠ADE=arcsin
5
5
.∴AE=AD•sin∠ADE=
3
5
5
a
在Rt△PAE,中tan∠PEA=
PA
AE
=
5
3
.∴∠PEA=arctg
5
3

即二面角P-CD-A的大小为arctg
5
3

(2)作AH⊥PB于H.
由PA⊥面ABCD,∵BC⊥AB,∴PB⊥BC.
又PB∩AB=B,∴BC⊥面PAB.
∴BC⊥AH.
∴AH⊥面PBC,AH的长为点A到面PBC的距离.
在等腰Rt△PAB中,AH=
2
2
a.
∴点A到平面PBC的距离是
2
2
a.
点评:熟练掌握线面垂直的判定与性质定理、三垂线定理、二面角的作法、直角三角形的边角关系、点到平面的距离求法等是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,梯形ABCD中,CD∥AB,AD=DC=CB=
12
AB,E是AB的中点,将△ADE沿DE折起,使点A折到点P的位置,且二面角P-DE-C的大小为120°.
(1)求证:DE⊥PC;
(2)求直线PD与平面BCDE所成角的大小;
(3)求点D到平面PBC的距离.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,梯形ABCD中,AD∥BC,PA⊥平面ABCD,E是PD的中点,AB=BC=1,PA=AD=2.
(1)求证:CE∥平面PAB;
(2)求证:CD⊥平面PAC.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,梯形ABCD中,CD∥AB,AD=DC=CB=
12
AB=a
,E是AB的中点,将△ADE沿DE折起,使点A折到点P的位置,且二面角P-DE-C的大小为120°
(1)求证:DE⊥PC;
(2)求点D到平面PBC的距离;
(3)求二面角D-PC-B的大小.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB=3,P是BC上的动点,当
PD
PA
最小时,tan∠APD的值为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AD∥BC,E,F是AB边的四等分点,AB=4,BC=BF=AE=1,AD=3,P为在梯形区域内一动点,满足PE+PF=AB,记动点P的轨迹为Γ.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求轨迹Γ在该坐标系中的方程;
(2)判断轨迹Γ与线段DC是否有交点,若有交点,求出交点位置;若没有交点,请说明理由;
(3)证明D,E,F,C四点共圆,并求出该圆的方程.

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