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已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0的两侧,则下列说法正确的序号是
③④
③④

①2a-3b+1>0
②a≠0时,
b
a
有最小值,无最大值
a>0且a≠1,b>0,
b
a-1
的取值范围为(-∞,-
1
3
)∪(
2
3
,+∞

④存在正实数M,使
a2+b2
>M
恒成立.
分析:由已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0的两侧可得2a-3b+1<0,结合不等式的性质可得当a>0时,
b
a
2
3
+
1
3a
,从而对①②作出判断;对于③,利用式子蕴含的斜率的几何意义即可解决.对于④,是看
a2+b2
有没有极小值,据
a2+b2
的几何意义即可得出;
解答:解:①由已知(2a-3b+1)(2-0+1)<0,即2a-3b+1<0,∴①错;
②当a>0时,由3b>2a+1,可得
b
a
2
3
+
1
3a
,∴不存在最小值,
∴②错;
③∵
b
a-1
表示点(a,b)与点(1,0)连线的斜率,
如图,由线性规划知识可知,当a>0,b>0时,
b
a-1
的取值范围为:
(-∞,-
1
3
)∪(
2
3
,+∞).③正确.
a2+b2
表示为(a,b)与(0,0)两点间的距离,
由于原点(0,0)到直线2x-3y+1=0的距离d=
1
4+9

由此可得:
a2+b2
1
4+9
=
13
13
恒成立,∴④正确;
故答案是:③④.
点评:本题主要考查了简单线性规划,用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

给出以下四个结论:
(1)函数f(x)=
x-1
x+1
的对称中心是(-1,-1);
(2)若关于x的方程x-
1
x
+k=0
在x∈(0,1)没有实数根,则k的取值范围是k≥2
(3)已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0两侧,则3b-2a>1;
(4)若将函数f(x)=sin(2x-
π
3
)
的图象向右平移?(?>0)个单位后变为偶函数,则?的最小值是
π
12
其中正确的结论是:
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出以下四个结论:
(1)函数f(x)=
x-1
2x+1
的对称中心是(-
1
2
,-
1
2
)

(2)若关于x的方程x-
1
x
+k=0
在x∈(0,1)没有实数根,则k的取值范围是k≥2;
(3)已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0两侧,当a>0且a≠1,b>0时,
b
a-1
的取值范围为(-∞,-
1
3
)∪(
2
3
,+∞)

其中正确的结论是:
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

给出以下五个结论:
(1)函数f(x)=
x-1
2x+1
的对称中心是(-
1
2
,-
1
2
)

(2)若关于x的方程x-
1
x
+k=0
在x∈(0,1)没有实数根,则k的取值范围是k≥2;
(3)已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0两侧,当a>0且a≠1,b>0时,
b
a-1
的取值范围为(-∞,-
1
3
)∪(
2
3
,+∞)

(4)若将函数f(x)=sin(2x-
π
3
)
的图象向右平移?(?>0)个单位后变为偶函数,则?的最小值是
12

(5)已知m,n是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,若m⊥α,n∥β且m⊥n,则α⊥β;其中正确的结论是:
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•福建模拟)给出以下四个结论:
(1)若关于x的方程x-
1
x
+k=0
在x∈(0,1)没有实数根,则k的取值范围是k≥2
(2)曲线y=1+
4-x2
(|x|≤2)
与直线y=k(x-2)+4有两个交点时,实数k的取值范围是(
5
12
3
4
]

(3)已知点P(a,b)与点Q(1,0)在直线2x-3y+1=0两侧,则3b-2a>1;
(4)若将函数f(x)=sin(2x-
π
3
)
的图象向右平移?(?>0)个单位后变为偶函数,则?的最小值是
π
12
,其中正确的结论是:
(2)(3)(4)
(2)(3)(4)

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