Question

【题目】如图1，在边长为2的等边中，分别为边的中点，将AED沿折起，使得 ， ，得到如图2的四棱锥A-BCDE，连结，且与交于点．

（1）求证：平面;

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）由题意可得，，即可得， ，利用线面垂直的判定即可得证；

（2）建立空间直角坐标系后，表示出各点坐标，求出平面、平面的一个法向量为、，利用即可得解.

（1）证明：由题意，，

因为、分别为、的中点，

所以且相似比为2，所以，，

所以，，

所以，，

又因为，，所以，，

由可得平面，得证.

（2）如图，过D作平面，DB为x轴，DC为y轴，Dz为z轴，建立空间直角坐标系；

所以，，，

由（1）知，则，

由可知，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

所以，即，取得，

同理可得平面的一个法向量，

所以，

由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．