Question

（2007•湛江二模）已知△ABC中，B=C=

2π

5

，记cosA=x，cosB=cosC=y．
（Ⅰ）求证：1+y=2x²；
（Ⅱ）若△ABC的面积等于2sin

π

5

，求AC边上的中线BD的长．

Answer 1

分析：（I）利用cosA=x，cosB=cosC=y，结合二倍角公式，可证结论；
（II）利用三角形的面积公式，结合b=c，A=

π

5

，求出BC，进而可求BD的长．

解答：（Ⅰ）证明：∵B=C=

2π

5

，∴A=π-(B+C)=π-

4π

5

=

π

5

∴1+y=1+cos

2π

5

=2cos2

π

5

=2x2．…（6分）
（Ⅱ）解：设△ABC中，角B、C所对的边分别为b、c，则有

1

2

bcsinA=2sin

π

5

，
∵b=c，A=

π

5

，
∴b2sin

π

5

=4sin

π

5

，故b=c=2．…（9分）
又BD2=c2+(

b

2

)2-2×c×

b

2

cosA=22+12-2×2×1×cos

π

5

=5-4cos

π

5

，
∴BD=

5-4cos π 5

．…（12分）

点评：本题考查余弦定理的运用，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．