Question

已知圆O：x²+y²=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|。

（1）求实数a、b间满足的等量关系；
（2）求线段PQ长的最小值；
（3）若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程。

Answer 1

解：（1）连结OP，
∵Q为切点，∴PQ⊥OQ，
由勾股定理有，
又由已知|PQ|=|PA|，故，
即，
化简得，实数a、b间满足的等量关系为：2a+b-3=0。
（2）由（1）知，点P在直线l：2x+y-3=0上，
∴|PQ|_min=|PA|_min，即求点A到直线l的距离，
∴。
（3）圆P与圆O有公共点，圆P半径最小时为与圆O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l′与l的交点P₀，
∴，
又l′：x-2y=0，
解方程组，得，
即，
∴所求圆方程为。