Question

设对所有实数x，不等式x2log2

4(a+1)

a

+2xlog2

2a

a+1

+log2

(a+1)2

4a2

＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：本题是一元二次不等式x∈R恒成立问题，用判别式法转化为：

a a+1 ＞0，(1) log2 4(a+1) a ＞0，(2) (2log2 2a a+1 )2-4log2 4(a+1) a •log2 (a+1)2 4a2 ＜0(3)

再求解．

解答：解：由题意得：

a a+1 ＞0，(1) log2 4(a+1) a ＞0，(2) (2log2 2a a+1 )2-4log2 4(a+1) a •log2 (a+1)2 4a2 ＜0(3)

令z=log2

2a

a+1

，则（3）式变为z²-（log₂8-z）（-2z）＜0，
化简为z（6-z）＜0，解得z＞6或z＜0（4）
（2）式变为log₂8-z＞0，即z＜3，（5）
综合（4），（5）得z＜0，即log2

2a

a+1

＜0，
由此，

2a

a+1

＜1（6）
解（1），（6）得a取值范围：0＜a＜1．

点评：本题主要考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题，解法是用判断式法，要注意其开口方向．