Question

某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加．若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为

1

8

的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过

1

2

，且他直到第二次测试才合格的概率为

9

32

．
（1）求小李第一次参加测试就合格的概率P₁；
（2）求小李10月份参加测试的次数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为

1

8

的等差数列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，这两个事件是相互独立的，写出概率的关系式，列出方程，得到结果；
（2）小李参加考核的次数ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，小李四次考核每次合格的概率依次为

1

4

，

3

8

，

1

2

，

5

8

，根据相互独立事件同时发生的概率，得到分布列和期望．

解答： 解：（1）设小李四次测试合格的概率依次为：a，a+

1

8

，a+

1

4

，a+

3

8

（a≤

1

2

），…（2分）
则（1-a）（a+

1

8

）=

9

32

，即a2-

7

8

a+

5

32

=0，
解得a=

1

4

或a=

5

8

＞

1

2

（舍），…（5分）
所以小李第一次参加测试就合格的概率为

1

4

；              …（6分）
（2）因为P（ξ=1）=

1

4

，P（ξ=2）=

3

4

×

3

8

=

9

32

，P（ξ=3）=

3

4

×

5

8

×

4

8

=

15

64

，
P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=

15

64

，…（8分）
则ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	1 4	9 32	15 64	15 64

…（10分）
所以Eξ=1×

1

4

+2×

9

32

+3×

15

64

+4×

15

64

=

157

64

，
即小李10月份参加测试的次数ξ的数学期望为

157

64

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题．