Question

已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax³-2bx-a+b．若-1≤f（x）≤1对任意x∈[0，1]恒成立，则a+b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：求导函数，再分类讨论：当b≤0时，当b＞0时，在0≤x≤1上时最大值，然后可证g（x）=-f（x）≤|2a-b|﹢a，由此可知函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．根据-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，可得|2a-b|﹢a≤1，从而利用线性规划知识，可求a+b的取值范围．

解答： 解：对函数求导可得，f′（x）=12ax²-2b，
①当b≤0时，f′（x）＞0，在0≤x≤1上恒成立，此时最大值为：f（1）=3a-b=|2a-b|﹢a；
②当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不定，函数在[0，1]上的单调性不定，此时最大值为：f（x）_max=max{f（0），f（1）}=|2a-b|﹢a；
∴函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a；
令g（x）=-4ax³+2bx+a-b，
则g′（x）=-12ax²+2b，
当b≤0时，g′（x）＜0在0≤x≤1上恒成立，此时g（x）的最大值为：g（0）=a-b＜3a-b=|2a-b|﹢a；
当b＞0时，g′（x）在0≤x≤1上的正负性不能判断，g（x）_max=max{g，g（1）}≤|2a-b|﹢a；
∴函数g（x）在0≤x≤1上的最大值≤|2a-b|﹢a．
即f（x）+|2a-b|+a≥0在0≤x≤1上恒成立．
由以上讨论知：函数在0≤x≤1上的最大值为|2a-b|﹢a，且函数在0≤x≤1上的最小值比-（|2a-b|﹢a）要大．
∵-1≤f（x）≤1对x∈[0，1]恒成立，
∴|2a-b|﹢a≤1．
取b为纵轴，a为横轴，则

2a-b≥0 3a-b≤1 a＞0

或

2a-b＜0 b-a≤1 a＞0

可行域如图所示，目标函数为z=a+b．由图可知，当z=a+b经过点A（1，2）时取得最大值3，大当经过点C（0，-1）时取得最小值-1，但是C不知可行域内

∴a+b的取值范围为（-1，3]
故答案为：（-1，3]

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值及线性规划综合性，难度大．