Question

过直线2x+y+4=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆方程为（　　）

• A、（x+

  13

  5

  ）²+（y+

  6

  5

  ）²=

  4

  5

• B、（x-

  13

  5

  ）²+（y-

  6

  5

  ）²=

  4

  5

• C、（x-

  13

  5

  ）²+（y+

  6

  5

  ）²=

  4

  5

• D、（x+

  13

  5

  ）²+（y-

  6

  5

  ）²=

  4

  5

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：项求出原心C到直线2x+y+4=0的距离d，可得弦长，从而求得要求的圆的半径．过点C且与2x+y+4=0垂直的直线和直线2x+y+4=0联立方程组，求得要求的圆的圆心，从而得到要求的圆方程．

解答： 解：圆x²+y²+2x-4y+1=0即 （x+1）²+（y-2）²=4，表示以C（-1，2）为圆心，半径等于2的圆．
圆心C到直线2x+y+4=0的距离为d=

|-2+2+4|

4+1

=

4 5

5

，
故弦长为2

r2-d2

=2

4- 16 5

=

4 5

5

，
故当面积最小的圆的半径为

2 5

5

．
过点C且与2x+y+4=0垂直的直线为y-2=

1

2

（x+1），由

2x+y+4=0 y-2= 1 2 (x+1)

求得

x=- 13 5 y= 6 5

，
即所求圆的圆心为（-

13

5

，

16

5

），故所求的圆方程为：（x+

13

5

）²+（y-

6

5

）²=

4

5

，
故选：D．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．