Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1与双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1，设连接它们的顶点构成的四边形的面积为S₁，连接它们的焦点构成的四边形的面积为S₂，则

S1

S2

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据对称性，两个四边形的面积都可以分为四个全等的直角三角形的面积，两个面积的比值用a，b表示出来，再根据基本不等式求最大值．

解答： 解：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右顶点为A，其坐标是（a，0），由焦点为C，坐标为（

a2+b2

，0）；
设双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1上顶点为B，坐标为（0，b），上焦点为D，坐标为（0，

a2+b2

）．O为坐标原点．
则S₁=4S_△OAB=2ab，S₂=4S_△OCD=2（a²+b²），
所以

S1

S2

=

ab

a2+b2

≤

ab

2ab

=

1

2

，
所以

S1

S2

的最大值为

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查双曲线的简单几何性质和使用基本不等式求最值，考查计算能力，难度中等．