Question

（1）已知tanα=2，求sin²α-3sinαcosα+1的值；
（2）求函数y=cos2x+sinx的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，把要求的式子化为

2tan2α-3tanα+1

tan2α+1

，再把tanα=2代入运算可得结果．
（2）利用二倍角的余弦公式化简函数的解析式为y=-2(sinx-

1

4

)2+

9

8

，结合正弦函数的值域，利用二次函数的性质求得函数y的最值，可得函数的值域．

解答： 解：（1）∵tanα=2，
∴sin²α-3sinαcosα+1=2sin²α-3sinαcosα+cos²α 
=

2sin2α-3sinαcosα+cos2α

sin2α+cos2α

=

2tan2α-3tanα+1

tan2α+1

=

2×4-3×2+1

4+1

=

3

5

．
（2）函数y=cos2x+sinx=1-2sin²x+sinx=-2(sinx-

1

4

)2+

9

8

，
故当sinx=

1

4

时，函数取得最大值为

9

8

，当sinx=-1时，函数取得最小值为-2，
故函数的值域为[-2，

9

8

]．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数的值域，二倍角的余弦公式，二次函数的性质的应用，属于基础题．