Question

函数f（x）=

ax2+1，x≥0 (a+2)eax，x＜0

为R的单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（0，+∞）
• B、[-1，0）
• C、（-2，0）
• D、（-∞，-2）

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：先求f′（x），讨论a的取值从而判断函数f（x）在每段上的单调性，当在每段上都单调递增时求得a＞0，这时需要求函数ax²+1在x=0时的取值大于等于（a+2）e^ax在x=0时的取值，这样又会求得一个a的取值，和a＞0求交集即可；当在每段上都单调递减时，求得-2＜a＜0，这时需要求函数ax²+1在x=0处的取值小于等于（a+2）e^ax在x=0处的取值，这样又会求得一个a的取值，和-2＜a＜0求交集即可；最后对以上两种情况下的a求并集即可．

解答： 解：f′（x）=

2ax x≥0 a(a+2)eax x＜0

；
∴（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax²+1≥1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＞0，
∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）e^ax＜a+2，
∴a+2≤1，解得a≤-1，不符合a＞0，
∴这种情况不存在；
（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax²+1≤1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，解得-2＜a＜0，并且（a+2）e^ax＞a+2，
∴a+2≥1，解得a≥-1，∴-1≤a＜0；
综上得a的取值范围为[-1，0）．
故选：B．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调递增，递减函数的定义．