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已知向量
m
=(sinx,-1)
n
=(
3
cosx,-
1
2
)
,函数f(x)=
m
2
+
m
n
-2

(Ⅰ)求f(x)的最大值,并求取最大值时x的取值集合;
(Ⅱ)已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边,且a,b,c成等比数列,角B为锐角,且f(B)=1,求
1
tanA
+
1
tanC
的值.
分析:(Ⅰ)把给出的向量的坐标代入函数解析式,化简整理后得到f(x)=sin(2x-
π
6
)
,直接由2x-
π
6
=2kπ+
π
2
,k∈Z
即可得到使函数取得最大值1的x的取值集合;
(Ⅱ)由B为锐角,利用f(B)=1求出B的值,把要求的式子切化弦,由a,b,c成等比数列得到sin2B=sinAsinC,代入化简后即可得到结论.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
m
2
+
m
n
-2
=(
m
+
n
)•
m
-2

=(sinx+
3
cosx,-
3
2
)•(sinx,-1)
-2
=sin2x+
3
sinxcosx-
1
2
=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x-
1
2

=
3
2
sin2x-
1
2
cos2x=sin(2x-
π
6
)

故f(x)max=1,此时2x-
π
6
=2kπ+
π
2
,k∈Z
,得x=kπ+
π
3
,k∈Z

所以取得最大值的x的集合为{x|x=kπ+
π
3
,k∈Z
}.
(Ⅱ)由f(B)=sin(2B-
π
6
)=1
,又∵0<B<
π
2
,∴-
π
6
<2B-
π
6
5
6
π

2B-
π
6
=
π
2
,∴B=
π
3

由a,b,c成等比数列,则b2=ac,∴sin2B=sinAsinC.
1
tanA
+
1
tanC
=
cosA
sinA
+
cosC
sinC
=
sinCcosA+cosCsinA
sinAsinC

=
sin(A+C)
sin2B
=
1
sinB
=
1
3
2
=
2
3
3
点评:本题考查了平面向量数量积的运算,考查了正弦定理,解答此题的关键是“降幂化积”,“角边互化”.是解决此类问题常用到的办法,此题是中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(sinθ,2cosθ),
n
=(
3
,-
1
2
)
,若
m
n
,则sin2θ的值为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(sinωx,cosωx),
n
=(cosωx,cosωx)(ω>0)
,设函数f(x)=
m
n
且f(x)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)先将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,然后将图象向下平移
1
2
个单位,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)在区间上[0,
4
]
上的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知向量
m
=(sinθ,2cosθ),
n
=(
3
,-
1
2
)
,当θ∈[0,π]时,函数f(θ)=
m
n
的值域是
[-1,2]
[-1,2]

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•上海二模)已知向量
m
=(sin(2x+
π
6
),sinx)
n
=(1,sinx),f(x)=
m
n

(1)求函数y=f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(
B
2
)=
2
+1
2
,b=
5
,c=
3
,求a的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知向量
m
=(sin 
A
2
,cos 
A
2
)
n
=(cos 
A
2
,-cos 
A
2
)
,且2
m
n
+|
m
|=
2
2
AB
AC
=1

(1)求角A的大小
(2)求△ABC的面积.

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