Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点G是侧面三角形PBC的重心；
（1）求证：AC⊥平面PBD．
（2）求AG与平面PBD所成的角的正弦值．
（3）在侧棱PD上是否存在一点N，使得PB∥平面AGN？，若存在试确定点N的位置，若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知中底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，我们易得AC⊥BD，PD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，即可得到AC⊥平面PBD．
（2）以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间坐标系，设PD=DC=1，则我们可以求出直线AG的方向向量与平面PBD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出AG与平面PBD所成的角的正弦值．
（3）设PD上存在点N，使DN=λDP，我们易根据PB∥平面AGN，构造λ的方程，解方程求出满足条件的λ值，即可得到答案．

解答：证明：（1）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又PD⊥底面ABCD，则PD⊥AC，从而AC⊥平面PBD；

解：（2）以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴，不妨设PD=1，则DC=1，从而有A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0）P（0，0，1），又G为△PBC的重心，
则G(

1

3

，

2

3

，

1

3

)．由（1）知

AC

是平面PBD的法向量，
则AG与平面PBD所成的角θ=

π

2

-?

AC

，

AG

＞
易知

AC

=(-1，1，0)，

AG

=(-

2

3

，

2

3

，

1

3

)，
则sinθ=cos?

AC

，

AG

＞=

2 2

3

为所求；
（3）设PD上存在点N，使DN=λDP，则

DN

=λ

DP

=λ(0，0，1)=(0，0，λ)∴

AN

=

AD

+

DN

=(-1，0，λ)，又

PB

=(1，1-1)，若PB∥平面AGN，则向量

PB

与

AN

，

AG

共面，依共面向量定理知存在实数m，n，使得

PB

=m

AN

+n

AG

，即(1，1，-1)=m(-1，0，λ)+n(-

2

3

，

2

3

，

1

3

)，则

-m- 2 3 n=1 2 3 n=1 mλ+ 1 3 n=-1

解得

m=-2 n= 3 2 λ= 3 4

，故侧棱PD上存在点N，当DN=

3

4

DP时满足条件．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（1）的关键是证得AC⊥BD，PD⊥AC，（2）、（3）的关键是建立空间坐标系，将空间直线与平面的夹角问题转化为向量夹角问题．