Question

7．如图所示，点A、B是圆O上的两点，∠AOB=60°，点D是圆O上异于A，B的任意一点，若$\overrightarrow{OD}$=μ$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$，则μ+λ的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 可分别以直线OB，和OB的垂线为x，y轴，建立坐标系，并设圆半径为1，从而可得出A（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（1，0），设D（x，y），从而由条件可得到$（x，y）=（\frac{1}{2}μ+λ，\frac{\sqrt{3}}{2}μ）$．从而有$（\frac{1}{2}μ+λ）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}μ）^{2}=1$，整理后可得μ²+λ²+μλ=1，这样由基本不等式即可得出μ+λ的范围，从而得出其最大值．

解答 解：以OB所在直线为x轴，OB的垂线为y轴建立如图所示平面直角坐标系，设圆O半径为1，则：
A（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（1，0），设D（x，y）；
$\overrightarrow{OD}=μ\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OB}$；
∴$（x，y）=（\frac{1}{2}μ+λ，\frac{\sqrt{3}}{2}μ）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}μ+λ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}μ}\end{array}\right.$；
∵x²+y²=1；
∴$（\frac{1}{2}μ+λ）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}μ）^{2}=1$；
∴μ²+λ²+μλ=1；
∴（μ+λ）²-μλ=1；
∴$（μ+λ）^{2}-1=μλ≤（\frac{μ+λ}{2}）^{2}$；
∴$（μ+λ）^{2}≤\frac{4}{3}$；
∴$-\frac{2\sqrt{3}}{3}≤μ+λ≤\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴μ+λ的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，能求平面上的点的坐标，向量加法的坐标运算，以及基本不等式用于求最值．