Question

设命题p：a＞1；命题q：不等式-3^x≤a对一切正实数均成立．
（1）若命题q为真命题，求实数a的取值范围；
（2）命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当命题q为真命时，由x＞0得3^x＞1，∴-3^x＜-1，（4分）
不等式-3^x≤a对一切正实数均成立，∴-1≤a（7分）
∴实数a的取值范围是[-1，+∞）；（8分）
（2）由命题“p或q”为真，且“p且q”为假，得命题p、q一真一假（10分）
①当p真q假时，则，无解；（12分）
②当p假q真时，则，得-1≤a≤1，（14分）
∴实数a的取值范围是[-1，1]（15分）
分析：（1）命题q为真命题，即在x∈[0，+∞）的情况下，-3^x的最大值不超过a，求出这个最大值为-1，故a≥-1；
（2）根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数a的取值范围．
点评：本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．