Question

（2012•广州一模）已知函数f(x)=tan(3x+

π

4

)．
（1）求f(

π

9

)的值；                
（2）若f(

α

3

+

π

4

)=2，求cos2α的值．

Answer 1

分析：（1）把x=

π

9

代入函数的解析式，再利用两角和的正切公式求得结果．
（2）由条件求得tanα=2，再利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系求出cos2α的值．

解答：解：（1）f(

π

9

)=tan(

π

3

+

π

4

)…（1分）
=

tan π 3 +tan π 4

1-tan π 3 tan π 4

…（3分）
=

3 +1

1- 3

=-2-

3

．…（4分）
（2）因为f(

α

3

+

π

4

)=tan(α+

3π

4

+

π

4

)…（5分）
=tan（α+π）…（6分）
=tanα=2．…（7分）
所以cos2α=cos²α-sin²α…（9分）
=

cos2α-sin2α

cos2α+sin2α

…（10分）
=

1-tan2α

1+tan2α

…（11分）
=

1-4

1+4

=-

3

5

．…（12分）

点评：本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题．