Question

在(ax-

1

x2

)6的展开式中，x³项的系数为-192，则

∫

a 0

(x-2)dx=

-2

．

Answer 1

分析：由二项式定理，求出(ax-

1

x2

)6的展开式通项，可得x³项的系数，根据题意，可得关于a的方程，解可得a的值，将a的值代入

∫

a 0

(x-2)dx中，由定积分公式，计算可得答案．

解答：解：根据题意，在(ax-

1

x2

)6的展开式通项为T_r+1=C₆^r（ax）^6-r（-

1

x2

）^r=（-1）^rC₆^r（a）^6-r（x）^6-3r，
令6-3r=3，可得r=1，
将r=1代入可得通项可得，T₂=-C₆¹（a）⁵x³，即-C₆¹（a）⁵=-192，化简可得（a）⁵=32，
解可得a=2，
则

∫

a 0

(x-2)dx=∫₀²（x-2）dx=（

x2

2

-2x）|₀²=-2；
故答案为-2．

点评：本题考查二项式定理的运用以及定积分的计算，关键在于利用二项式定理求出a的值．