Question

7．在数列$\left\{{a_n}\right\}（n∈{N^*}）$中，a₁=1，前n项和S_n满足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若${b_n}=4{（\frac{a_n}{n}）^2}$，求数列{（-1）ⁿb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据已知条件nS_n+1-（n+3）S_n=0可以推知$\frac{{{S_{n+1}}}}{S_n}=\frac{n+3}{n}（n∈{{N}^*}）$，且S₁=a₁=1；所以需要分类讨论：n=1和n≥2两种情况下的通项公式；
（Ⅱ）设${c_n}={（-1）^n}{b_n}={（-1）^n}{（n+1）^2}$，需要分类讨论：n为偶数和n为奇数两种情况．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{{{S_{n+1}}}}{S_n}=\frac{n+3}{n}（n∈{{N}^*}）$，且S₁=a₁=1，
∴当n≥2时，${S_n}={S_1}•\frac{S_2}{S_1}•\frac{S_3}{S_2}•…•\frac{S_n}{{{S_{n-1}}}}=1×\frac{4}{1}×\frac{5}{2}×\frac{6}{3}×…×\frac{n+2}{n-1}=\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$，且S₁=1也适合，
当n≥2时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n（n+1）}{2}$，
且a₁=1也适合，∴${a_n}=\frac{n（n+1）}{2}（n∈{{N}^*}）$；
（Ⅱ）${b_n}={（n+1）^2}$．设${c_n}={（-1）^n}{b_n}={（-1）^n}{（n+1）^2}$，
当n为偶数时，∵${c_{n-1}}+{c_n}={（-1）^{n-1}}•{n^2}+{（-1）^n}•{（n+1）^2}=2n+1$，
∴${T_n}=（{c_1}+{c_2}）+（{c_3}+{c_4}）+…+（{c_{n-1}}+{c_n}）=5+9+13+…+（2n+1）=\frac{{\frac{n}{2}[5+（2n+1）]}}{2}=\frac{n（n+3）}{2}$．
当为奇数（n≥3）时，${T_n}={T_{n-1}}+{c_n}=\frac{（n-1）（n+2）}{2}-{（n+1）^2}=-\frac{{{n^2}+3n+4}}{2}$，
且T₁=c₁=-4也适合上式．
综上：得${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{{n^2}+3n+4}}{2}（n为奇数）}\\{\frac{n（n+3）}{2}（n为偶数）}\end{array}}\right.$．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用累加法和分组求和法是解决本题的关键．