Question

3．二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-3，4]上的值域；
（3）若函数f（x+m）为偶函数，求f[f（m）]的值；
（4）求f（x）在[m，m+2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=2得c=2，由f（x+1）-f（x）=2x+3，得2ax+a+b=2x+3，解方程组求出a，b的值，从而求出函数的解析式；
（2）求得二次函数的对称轴，比较区间的关系，即可得到最值，进而得到值域；
（3）由偶函数的性质可得关于y轴对称，可得m=-1，进而得到所求；
（4）对m讨论，注意对称轴和区间的关系，由单调性即可得到最小值．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=2得c=2，
故f（x）=ax²+bx+2．
因为f（x+1）-f（x）=2x+3，
所以a（x+1）²+b（x+1）+2-（ax²+bx+2）=2x+3．
即2ax+a+b=2x+3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+2；
（2）由f（x）=（x+1）²+1的对称轴为x=-1∈[-3，4]，
即有x=-1取得最小值1，x=4取得最大值26，
则值域为[1，26]；
（3）f（x）=（x+1）²+1，即有f（x+m）=（x+m+1）²+1，
由函数f（x+m）为偶函数，则m+1=0，解得m=-1．
即有f（f（m））=f（f（-1））=f（1）=5．
（4）当m+2≤-1即m≤-3时，[m，m+2]为减区间，
最小值为f（m+2）=m²+6m+10；
当m≤-1＜m+2，即-3＜m≤-1时，x=-1取得最小值1；
当-1＜m＜m+2，即m＞-1时，区间[m，m+2]为增区间，
x=m取得最小值m²+2m+2．
综上可得m≤-3时，最小值为m²+6m+10；
-3＜m≤-1时，最小值为1；
m＞-1时，最小值为m²+2m+2．

点评 本题考查二次函数的解析式和值域及最值，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．