Question

13．已知$\overrightarrow{OA}$=（3，1），$\overrightarrow{OB}$=（-1，2），$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{BC}$共线，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OC}$，求$\overrightarrow{OD}$．

Answer 1

分析 可设$\overrightarrow{OC}=（a，b）$，$\overrightarrow{OD}=（x，y）$，这样可表示出$\overrightarrow{BC}$=（a+1，b-2），从而根据$\overrightarrow{OC}⊥\overrightarrow{OB}$以及$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{BC}$共线即可建立关于a，b的方程组，这样解出a，b，即得出向量$\overrightarrow{OC}$的坐标，再根据$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}$即可求出$\overrightarrow{OD}$的坐标．

解答 解：设$\overrightarrow{OC}=（a，b），\overrightarrow{OD}=（x，y）$；
∵$\overrightarrow{OC}⊥\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OB}=0$；
即-a+2b=0  （1）；
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$=（a+1，b-2），$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{BC}$共线；
∴3（b-2）-（a+1）=0；
即3b-a=7   （2）；
∴（1）（2）联立得a=14，b=7；
$\overrightarrow{OC}=（14，7）$；
又$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}$；
∴（3，1）+（x，y）=（14，7）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+x=14}\\{1+y=7}\end{array}\right.$；
∴x=11，y=6；
∴$\overrightarrow{OD}=（11，6）$．

点评 考查向量坐标的加法、减法运算，向量数量积的坐标运算，要掌握两向量垂直和平行时的坐标的关系．