Question

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f(

3

2

+x)=-f(

3

2

-x)成立．
（1）证明y=f（x）是周期函数，并指出其周期；
（2）若f（1）=2，求f（2）+f（3）的值；
（3）若g（x）=x²+ax+3，且y=|f（x）|•g（x）是偶函数，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函数周期性的定义证明f（x+3）=f（x）．
（2）利用函数的周期性和奇偶性，直接带入求解．
（3）利用函数是偶函数建立方程关系进行求解．

解答：解（1）由f(

3

2

+x)=-f(

3

2

-x)，且f（-x）=-f（x）知f(3+x)=f[

3

2

+(

3

2

+x)]=-f[

3

2

-(

3

2

+x)]=-f(-x)=f(x)，所以y=f（x）是周期函数，且T=3是其一个周期．
（2）因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）=0，且f（-1）=-f（1）=-2，
又T=3是y=f（x）的一个周期，所以f（2）+f（3）=f（-1）+f（3）=-2+0=-2；
（3）因为y=|f（x）|•g（x）是偶函数，且可证明y=|f（x）|是偶函数，
所以g（x）=x²+ax+3为偶函数，即g（-x）=g（x）恒成立．
于是（-x）²+a（-x）+3=x²+ax+3恒成立，
于是2ax=0恒成立?a=0，
所以a=0为所求．

点评：本题主要考查函数周期性，奇偶性的应用，要求熟练掌握函数性质的综合应用．