Question

设点M（m，0）在椭圆

x2

16

+

y2

12

=1的长轴上，点p是椭圆上任意一点． 当

MP

的模最小时，点p恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围（　　）

• A、[0，4]
• B、[1，4]
• C、[1，5]
• D、[3，4]

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P(4cosθ，2

3

sinθ)．（θ∈[0，2π））．则|

MP

|2=(4cosθ-m)2+(2

3

sinθ)2=4（cosθ-m）²+12-4m²．
只考虑4≥m≥0．分类讨论：当0≤m＜1时，当1≤m≤4时，利用二次函数与余弦函数的单调性即可得出．

解答： 解：设P(4cosθ，2

3

sinθ)．（θ∈[0，2π））．
则|

MP

|2=(4cosθ-m)2+(2

3

sinθ)2
=4（cosθ-m）²+12-4m²．
只考虑4≥m≥0．
当0≤m＜1时，当cosθ=m时，

MP

的模取得最小值，而此时点p不是椭圆的右顶点，舍去．
当1≤m≤4时，当cosθ=1时，

MP

的模取得最小值，而此时点p（4，0）是椭圆的右顶点，
∴m的取值范围是[1，4]．
故选：B．

点评：本题考查了椭圆的参数方程、二次函数与余弦函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．