Question

已知定义域为（0，+∞）上的单调递增函数f（x），满足：?x∈（0，+∞），有f（f（x）-lnx）=1，则方程f（x）=-x²+4x-2解的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得，存在唯一的正实数a，使f（x）-lnx=a，f（a）=1，求得a=1，可得f（x）的解析式，方程即-x²+4x-3=lnx．故方程解的个数，即函数y=-x²+4x-3的图象和函数 y=lnx 的图象的交点个数，数形结合可得结论．

解答： 解：由于定义域为（0，+∞）上的单调递增函数f（x）满足f（f（x）-lnx）=1，f（x）=-x²+4x-2，
故必存在唯一的正实数a，使f（x）-lnx=a，f（a）=1 ①，
∴f（a）-lna=a ②．
由①②求得a=1，故f（x）=1+lnx，方程f（x）=-x²+4x-2，即 1+lnx=-x²+4x-2，即-x²+4x-3=lnx．
故方程解的个数即函数y=-x²+4x-3的图象和函数 y=lnx 的图象的交点个数．
数形结合可得函数y=-x²+4x-3的图象和函数 y=lnx 的图象的交点个数为3，
故选：D．

点评：本题考查对数的运算性质的综合运用，综合性强，难度大．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，属于中档题．