Question

设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，

a

∈V，记

a

的象为f(

a

)．若映射f：V→V满足：对所有

a

，

b

∈V及任意实数λ，μ都有f(λ

a

+μ

b

)=λf(

a

)+μf(

b

)，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，则f(

0

)=

0

②对

a

∈V设f(

a

)=2

a

，则f是平面M上的线性变换；
③若

e

是平面M上的单位向量，对

a

∈V设f(

a

)=

a

-

e

，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，

a

，

b

∈V，若

a

，

b

共线，则f(

a

)，f(

b

)也共线．
其中真命题是

 

（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析：本题考查的知识点的演绎推理，由已知中，若映射f：V→V满足：对所有

a

，

b

∈V及任意实数λ，μ都有f(λ

a

+μ

b

)=λf(

a

)+μf(

b

)，则f称为平面M上的线性变换．我们根据其定义对题目中的四个结论进行判断，即可得到结论．

解答：解：令

a

=

b

=

0

，λ=μ=1，
由题有f（

0

）=2f（

0

）?f（

0

）=

0

，故①正确；
由题f（λ

a

+μ

b

）=2（λ

a

+μ

b

），
λf（

a

）+μf（

b

）=2λ

a

+2μ

b

）=2（λ

a

+μ

b

），
即f（λ

a

+μ

b

）=λf（

a

）+μf（

b

），故②正确；
由题f（λ

a

+μ

b

）=λ

a

+μ

b

-

e

，
λf（

a

）+μf（

b

）=λ

a

-

e

+μ

b

-

e

，，
即f（λ

a

+μ

b

≠λf（

a

）+μf（

b

），故③不正确；
由题

b

=λ

a

，f（

0

）=f（

a

-λ

b

）=f（

a

）-λf（

b

）

0

?f（

a

）=λf（

b

），
即f（

a

），f（

b

）也共线，故④正确；
故答案为：①②④

点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．