【题目】已知函数.
(1)当函数与函数
图象的公切线l经过坐标原点时,求实数a的取值集合;
(2)证明:当时,函数
有两个零点
,且满足
.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)先利用导数的几何意义和函数求出公切线方程,再将公切线方程与函数
联立,表示
,再构造函数
利用导数求出其单调区间和值域,可求出a的取值;
(2)要证有两个零点,只要证
有两个零点即可,而
时函数
的一个零点,所以只需再利用导数研究此函数的性质即可,由于两个零点,一个是
,另一个在区间
上,若设
则
, 所以只需利用导数证明
即可 .
解:(1)设公切线l与函数的切点为
,则公切线l的斜率
,公切线l的方程为:
,将原点坐标
代入,得
,解得
,公切线l的方程为:
,
将它与联立,整理得
.
令,对之求导得:
,令
,解得
.
当时,
单调递减,值域为
,
当时,
单调递增,值域为
,
由于直线l与函数相切,即只有一个公共点,
故实数a的取值集合为.
(2)证明:,要证
有两个零点,只要证
有两个零点即可.
,即
时函数
的一个零点.
对求导得:
,令
,解得
.当
时,
单调递增;
当时,
单调递减.当
时,
取最小值,
,
,必定存
在使得二次函数
,
即.因此在区间上
必定存在
的一个零点.
练上所述,有两个零点,一个是
,另一个在区间
上.
下面证明.
由上面步骤知有两个零点,一个是
,另一个在区间
上.
不妨设则
,下面证明
即可.
令,对之求导得
,
故在定义域内单调递减,
,即
.
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【题目】如图,在矩形中,
为边
的中点,将
沿直线
翻转成
(
平面
).若
分别为线段
的中点,则在
翻转过程中,下列说法正确的是( )
A.与平面垂直的直线必与直线
垂直
B.异面直线与
所成的角是定值
C.一定存在某个位置,使
D.三棱锥外接球半径与棱
的长之比为定值
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【题目】定义域均为D的三个函数,
,
满足条件:对任意
,点
与点
都关于点
对称,则称
是
关于
的“对称函数”.已知函数
,
,
是
关于
的“对称函数“,记
的定义域为D,若对任意
,都存在
,使得
成立,则实数a的取值范围是( )
A..B..
C..
D..
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【题目】已知矩形和菱形
所在平面互相垂直,如图,其中
,
,
,点
为线段
的中点.
(Ⅰ)试问在线段上是否存在点
,使得直线
平面
?若存在,请证明
平面
,并求出
的值,若不存在,请说明理由;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
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【题目】“二进制”来源于我国古代的《易经》,该书中有两类最基本的符号:“─”和“﹣﹣”,其中“─”在二进制中记作“1”,“﹣﹣”在二进制中记作“0”.如符号“”对应的二进制数011(2)化为十进制的计算如下:011(2)=0×22+1×21+1×20=3(10).若从两类符号中任取2个符号进行排列,则得到的二进制数所对应的十进制数大于2的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】受新冠肺炎疫情影响,某学校按上级文件指示,要求错峰放学,错峰有序吃饭.高三年级一层楼六个班排队,甲班必须排在前三位,且丙班、丁班必须排在一起,则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有( )
A.240种B.120种C.188种D.156种
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)不需证明,直接写出的奇偶性:
(Ⅱ)讨论的单调性,并证明
有且仅有两个零点:
(Ⅲ)设是
的一个零点,证明曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线.
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