【题目】已知函数.
(Ⅰ)不需证明,直接写出的奇偶性:
(Ⅱ)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点:
(Ⅲ)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线的切线.
【答案】(Ⅰ)奇函数;(Ⅱ)在和上单调递增;证明见解析;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)先计算出函数的定义域,然后根据简单函数的奇偶性,简单判断可得结果.
(Ⅱ)计算函数,可得函数在和上单调递增,然后利用零点存在性定理以及函数的奇偶性,可得结果.
(Ⅲ)简单判断可知点在曲线上,计算直线的斜率以及曲线在点处切线的斜率和曲线在点处切线的斜率即可.
(Ⅰ)定义域为,函数为奇函数.
(Ⅱ)因为,
由(Ⅰ)知,为奇函数,且
所以,在和上单调递增.
在上,,
所以在上有唯一零点,即.
又为奇函数,.
故在上有唯一零点.
综上,有且仅有两个零点.
(Ⅲ)因为,故点在曲线上.
由题设知即,连接,
则直线的斜率
曲线在点处切线的斜率是;
曲线在点处切线的斜率也是.
所以曲线在点处的切线也是曲线的切线.
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【题目】2019年女排世界杯(第13届女排世界杯)是由国际排联举办的赛事,比赛于2019年9月14日至9月29日在日本举行,共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球_,已知这种球的质量指标ξ(单位:)服从正态分布.比赛赛制采取单循环方式,即每支球队进行11场比赛,最后靠积分选出最后冠军.积分规则如下(比赛采取5局3胜制):比赛中以或取胜的球队积3分,负队积0分;而在比赛中以取胜的球队积2分,负队积1分.9轮过后,积分榜上的前2名分别为中国队和美国队,中国队积26分,美国队积22分.第10轮中国队对抗塞尔维亚队,设每局比赛中国队取胜的概率为.
(1)如果比赛准备了1000个排球,估计质量指标在内的排球个数(计算结果取整数)
(2)第10轮比赛中,记中国队取胜的概率为,求出的最大值点,并以作为p的值,解决下列问题.
(i)在第10轮比赛中,中国队所得积分为X,求X的分布列;
(ii)已知第10轮美国队积3分,判断中国队能否提前一轮夺得冠军(第10轮过后,无论最后一轮即第11轮结果如何,中国队积分最多)?若能,求出相应的概率;若不能,请说明理由.
参考数据:,则,
,.
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【题目】2016年春节期间全国流行在微信群里发抢红包,现假设某人将688元发成手气红包50个,产生的手气红包频数分布表如下:
金额分组 | ||||||
频 数 | 3 | 9 | 17 | 11 | 8 | 2 |
(1)求产生的手气红包的金额不小于9元的频率;
(2)估计手气红包金额的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)在这50个红包组成的样本中,将频率视为概率.
①若红包金额在区间内为最佳运气手,求抢得红包的某人恰好是最佳运气手的概率;
②随机抽取手气红包金额在内的两名幸运者,设其手气金额分别为,,求事件“”的概率.
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【题目】设,,为两两不重合的平面,,,为两两不重合的直线,给出下列四个命题:
①若,,则;
②若,,,,则;
③若,,则;
④若,,,,则.
其中真命题是( )
A.①③B.②④C.③④D.①②
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【题目】已知离心率为的椭圆的短轴的两个端点分别为、,为椭圆上异于、的动点,且的面积最大值为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)射线与椭圆交于点,过点作倾斜角互补的两条直线,它们与椭圆的另一个交点分别为点和点,求的面积的最大值.
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【题目】已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)= (a∈R,e为自然对数的底数)
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在 上无零点,求a的最小值;
(Ⅲ)若对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,求a的取值范围.
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【题目】如图,四边形ABCD为正方形,PA∥CE,AB=CEPA,PA⊥平面ABCD.
(1)证明:PE⊥平面DBE;
(2)求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.
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【题目】是坐标原点,椭圆:的左右焦点分别为,,点在椭圆上,若的面积最大时且最大面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线:与椭圆在第一象限交于点,点是第四象限内的点且在椭圆上,线段被直线垂直平分,直线与椭圆交于另一点,求证:.
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