Question

如图，P是平面四边形ABCD所在平面外一点，且AB＝BC，AD＝DC，PA＝PC．

求证：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

答案：
解析：

证明：设AC∩BD＝O，连接PO． 　　因为AB＝BC，AD＝DC，BD＝BD， 　　所以△ABD≌△CBD， 　　所以∠ADO＝∠CDO． 　　易得△ADO≌△CDO． 　　所以OA＝OC，即O为等腰三角 　　形ACD底边AC的中点， 　　则AC⊥BD． 　　又在△PAC中，PA＝PC，OA＝OC， 　　则AC⊥PO． 　　因为PO∩BD＝O， 　　所以AC⊥平面PBD． 　　又AC平面PAC， 　　所以平面PAC⊥平面PBD． 　　寻线历程：证明α⊥β时，一般先在其中一个平面α(或β)内观察、寻找一条直线a，再判断直线a是否垂直于平面β(或α)，然后运用面面垂直的判定定理即可得证．即将结论和条件相互结合，正推与逆推相结合即可解决问题．