Question

已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为，右焦点为F(1，0)，直线l经过点F，且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．

   （I）求椭圆的标准方程；

   （II）若P是椭圆上的一个动点，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；

   （III）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点S，使得?为常数?若存在，求出定点S的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可知，c=1，又e==，解得a=

所以b²=a²-c²=1

所以椭圆的方程为+ y²=1.

   （II）设P(x₀,y₀),则，所以2=2 -.

所以|PO|²+|PF|²=++( x₀-1)²+=( x₀-1)²+2

因为x₀∈[-,],所以

当x₀= -时，|PO|²+|PF|²取得最大值(--1)²+2=5+2;

当x₀= 1时，|PO|²+|PF|²取得最小值2.

   （III）若直线l不垂直于x轴，可设l的方程为y=k(x-1)．

由

得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0.

△=16k⁴-4(1+2k²)(2k²-2)=8k²+8>0.

设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则

x₁+ x₂=，x₁ x₂=.

设S(t，0)，则=( x₁-t,y₁)，=( x₂-t,y₂),

=(x₁-t)(x₂-t)+ y₁ y₂

= x₁ x₂- t(x₁+ x₂)+ t ²+k²(x₁-1)(x₂-1)

=(1+ k²) x₁ x₂-( t +k²)( x₁+ x₂)+ t ²+k²

=(1+ k²)-( t +k²)+ t ²+k²

=

=

要使得=λ(λ为常数)，只要=λ，

即()k² + (t²-2 -λ)=0.  (*)

对于任意实数k，要使(*)式恒成立，只要

解得

若直线l垂直于x轴，其方程为x=1．

此时，直线l与椭圆两交点为A(1，)、B(1,一),

取点S(，0)，有=(-,),=(-,-),

=(-)×(-)+×(-)

==λ .

综上所述，过定点F(1，0)的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点S(，0)，使得=.