Question

【题目】已知函数f(x)=2lnx-ax2,若α，β都属于区间[1,4]，且β-α=1，f(α)=f(β),则实数a的取值范围是________.

Answer 1

【答案】

【解析】

先求导，，利用函数的单调性，结合f(α)=f(β)，确定a>0;再利用β﹣α＝1，即 2lnα﹣2lnβ+a（α+β）＝0，可得2lnα﹣2ln（α+1）+a（2α+1）＝0，α∈[1，3]，设h（x）＝2lnx﹣2ln（x+1）+a（2x+1）,x∈[1，3]，确定h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，即可求实数a的取值范围．

解：f′（x）＝ （x＞0）

当a≤0 时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上递增，则f（x）不可能有两个相等的函数值．故a>0；

由题设f（α）＝f（β） 则 ＝

考虑到β﹣α＝1，即 2lnα﹣2lnβ+a（α+β）＝0

∴2lnα﹣2ln（α+1）+α（2 +1）＝0， ∈[1，3]

设h（x）＝2lnx﹣2ln（x+1）+α（2x+1）x∈[1，3]，a>0，

则h'（x）＝ 在 上恒成立，

∴h（x）在[1，3]上递增，h（x）在[1，3]有零点，则

，∴ ，∴

故实数a的取值范围是．