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    设f(x)=
    1-x2
    1+x2
    (x∈R)
    （1）求证：f(
    1
    x
    )=-f(x)，(x≠0)    ；
    （2）求值：f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2008)+f(
    1
    3
    )+f(
    1
    4
    )+f(
    1
    5
    )+…+f(
    1
    2008
    )    ．
    分析：（1）先把f(x)=
    1-x2
    1+x2
    (x∈R)    中所有的x都换成
    1
    x
    ，得到f(
    1
    x
    )    ，然后进行整理能证出f(
    1
    x
    )=-f(x)，(x≠0)    ．
    （2）由f(
    1
    x
    )+f(x)=0    知f(1)+f(2)+f(3)++f(2008)+f(
    1
    3
    )+f(
    1
    4
    )+f(
    1
    5
    )++f(
    1
    2008
    )    ．=f（1）+f（2），从而得到结果．
    解答：解：（1）因为f(
    1
    x
    )=
    1-(
    1
    x
    )    2
    1+(
    1
    x
    )    2
    =
    x2-1
    x2+1
    ，f(x)=
    1-x2
    1+x2
    ，（4分）
    所以f(
    1
    x
    )=-f(x)，(x≠0)    ；（6分）
    （2）由（1）知f(
    1
    x
    )+f(x)=0    （3） （8分）
    所以f(1)+f(2)+f(3)++f(2008)+f(
    1
    3
    )+f(
    1
    4
    )+f(
    1
    5
    )++f(
    1
    2008
    )    ．
    =f（1）+f（2）   （12分）
    =0+
    -3
    5
    =-
    3
    5
       （14分）．
    点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数性质的合理运用．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f(x)=λ1(
    a
    3
    x3+
    b-1
    2
    x2+x)+λ2x•3x(a，b∈R，a＞0)
    （1）当λ1=1，λ2=0时，设x1，x2是f（x）的两个极值点，
    ①如果x1＜1＜x2＜2，求证：f'（-1）＞3；
    ②如果a≥2，且x2-x1=2且x∈（x1，x2）时，函数g（x）=f'（x）+2（x-x2）的最小值为h（a），求h（a）的最大值．
    （2）当λ1=0，λ2=1时，
    ①求函数y=f（x）-3（ln3+1）x的最小值．
    ②对于任意的实数a，b，c，当a+b+c=3时，求证3aa+3bb+3cc≥9．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数f(x)=
     
    		1-x2
    ，(|x|≤1)
    |x|，(|x|＞1)
    ，若方程f（x）=a有且只有一个实根，则实数a满足（　　）
    A、a＜0B、0≤a＜1
    C、a=1D、a＞1

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•锦州一模）设函数f(x)=
    1-x2，x≤1
    x2-2，x＞1
    ，则 f(
    1
    f(2)
    )    的值为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•海淀区二模）某同学为研究函数f(x)=
    		1+x2
    +
    		1+(1-x)2
    (0≤x≤1)    的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）．请你参考这些信息，推知函数f（x）的图象的对称轴是
    x=
    1
    2
    x=
    1
    2
    ；函数g（x）=4f（x）-9的零点的个数是
    2
    2
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f(x)=
    1
    1+x2
    ，|x|＞1
    |x-1|-2，|x|≤1
    ，则f(f(
    1
    2
    ))    =（　　）
    A、
    1
    2
    B、
    4
    13
    C、-
    9
    5
    D、
    25
    41

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