Question

17．已知f（x）=$\frac{x}{1+x}$，
（1）求f（x）+f（$\frac{1}{x}$）的值；
（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+…+f（$\frac{1}{7}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{x}{1+x}$，利用函数性质能求出f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1．
（2）由f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，利用分组求和法能求出f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+…+f（$\frac{1}{7}$）的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x}{1+x}$，
∴f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{x}{1+x}$+$\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{x}{1+x}+\frac{1}{x+1}$=1．
（2）∵f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，
∴f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（$\frac{1}{2}$）+…+f（$\frac{1}{7}$）
=[f（1）+f（1）]+[f（2）+f（$\frac{1}{2}$）]+…+[f（7）+f（$\frac{1}{7}$）]
=7．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．