Question

14．如图，已知椭圆：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，点A，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直线l与线段AB相交于点D，且与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，求k的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的方程可得A，B的坐标，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=4，进而求得x₂的表达式，进而根据$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，求得x₀的表达式，由D在AB上知x₀+2kx₀=2，进而求得x₀的另一个表达式，两个表达式相等求得k．
（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y₁=kx₁，y₂=kx₂，进而可表示出四边形AEBF的面积，进而根据基本不等式的性质求得最大值．

解答 解：（Ⅰ）椭圆：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，A（2，0），B（0，1），
直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如图，设D（x₀，kx₀），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，
且x₁，x₂满足方程（1+4k²）x²=4，
故x₂=-x₁=$\frac{2}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$．①
由$\overrightarrow{ED}$=6$\overrightarrow{DF}$，知x₀-x₁=6（x₂-x₀），得x₀=$\frac{1}{7}$（6x₂+x₁）=$\frac{5}{7}$x₂=$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$，
由D在AB上知x₀+2kx₀=2，得x₀=$\frac{2}{1+2k}$，
所以$\frac{10}{7\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{2}{1+2k}$，
化简得24k²-25k+6=0，
解得k=$\frac{2}{3}$或k=$\frac{3}{8}$．
（Ⅱ）由题设，|BO|=1，|AO|=2．
由（Ⅰ）知，E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），
不妨设y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，
根据E与F关于原点对称可知y₂=-y₁＞0，
故四边形AEBF的面积为S=S_△OBE+S_△OBF+S_△OAE+S_△OAF
=$\frac{1}{2}$|OB|•（-x₁）+$\frac{1}{2}$|OB|•x₂+$\frac{1}{2}$|OA|•y₂+$\frac{1}{2}$|OA|•（-y₁）
=$\frac{1}{2}$|OB|（x₂-x₁）+$\frac{1}{2}$|OA|（y₂-y₁）=x₂+2y₂
=$\sqrt{（{x}_{2}+2{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}+4{x}_{2}{y}_{2}}$≤$\sqrt{2（{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}）}$=2$\sqrt{2}$，
当x₂=2y₂时，上式取等号．所以S的最大值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．